Integral x² cos(3x+1) dx

Integral Parsial.

∫ x² cos (3x + 1) dx

∫ u dv = uv - ∫ v du
u = x² → du = 2x dx
dv = cos (3x + 1) → v = 1/3 sin (3x + 1)
∫ x² cos (3x + 1) dx = 1/3 x² sin (3x + 1) - ∫ 2/3 x sin (3x + 1) dx

2/3 ∫ x sin (3x + 1) dx
∫ f dg = fg - ∫ g df
f = x → df = 1 dx
dg = sin (3x + 1) → g = -1/3 cos (3x + 1)
2/3 ∫ x sin (3x + 1) dx = 2/3 [-1/3 x cos (3x + 1) - ∫ -1/3 cos (3x + 1) dx]
2/3 ∫ x sin (3x + 1) dx = -2/9 x cos (3x + 1) + 2/9 ∫ cos (3x + 1) dx
2/3 ∫ x sin (3x + 1) dx = -2/9 x cos (3x + 1) + 2/9 [1/3 sin (3x + 1)]
2/3 ∫ x sin (3x + 1) dx = -2/9 x cos (3x + 1) + 2/27 sin (3x + 1)

∫ x² cos (3x + 1) dx = 1/3 x² sin (3x + 1) - [2/27 sin (3x + 1) -2/9 x cos (3x + 1)]
∫ x² cos (3x + 1) dx = 1/3 x² sin (3x + 1) - 2/27 sin (3x + 1) + 2/9 x cos (3x + 1) + C
∫ x² cos (3x + 1) dx = 1/27 [(9x² - 2) sin (3x + 1) + 6x cos (3x + 1)] + C