titik a (-4, 4), b (-4, 0), c (3, -3), dan d (0, 4) merupakan titik titik sudut daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan. tentukan sistem pertidaksamaan

Kelas : XII (3 SMA)
Materi : Sistem Pertidaksamaan Linear
Kata Kunci : sistem, pertidaksamaan, persamaan, linear, garis

Pembahasan :
Persamaan garis yang melalui titik-titik sebarang P(x₁, y₁) dan Q(x₂, y₂) adalah

[tex] \frac{y-y_1}{y_2-y_1}= \frac{x-x_1}{x_2-x_1} [/tex]

Suatu pernyataan yang berbentuk ax + by + c > 0, ax + by + c ≥ 0, ax + by + c < 0, ax + by + c ≤ 0, serta a dan b tidak nol dinamakan pertidaksamaan linear dua variabel x dan y.

Grafik pertidaksamaan linear dua variabel adalah himpunan semua titik (x, y) pada sistem koordinat Cartesius yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.

Grafik biasanya digambarkan sebagai suatu daerah yang diarsir pada sistem koordinat yang dinamakan daerah himpunan penyelesaian.

Jika garis y = ax + b sebagai garis batas tidak termasuk pada daerah himpunan penyelesaiannya, maka garis tersebut digambarkan terputus-putus, tetapi jika garis y = ax + b sebagai garis batas termasuk pada daerah himpunan penyelesaiannya, maka garis tersebut digambarkan garis penuh (tidak terputus-putus).

Mari kita lihat soal tersebut.
A(-4, 4), B(-4, 0), C(3, -3), dan D(0, 4) merupakan titik-titik sudut daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear. Tentukan sistem pertidaksamaan tersebut!

Jawab :
Perhatikan gambar terlampir.
Persamaan garis yang melalui A(-4, 4) dan D(0, 4) adalah
[tex] \frac{y-4}{4-4}= \frac{x-(-4)}{0-(-4)} [/tex]
⇔ [tex] \frac{y-4}{0}= \frac{x+4}{4} [/tex]
⇔ 4(y - 4) = 0(x + 4)
⇔ 4y - 16 = 0 ... (1)

Misalkan kita mengambil titik E(-3, 3), kemudian disubstitusikan ke persamaan (1), diperoleh
4(3) - 16 = 12 - 16 = - 4, -4 < 16.
Sehingga 4y - 16 ≤ 0 ⇔ 4y ≤ 16 ... (1*)

Persamaan garis yang melalui A(-4, 4) dan B(-4, 0) adalah
[tex] \frac{y-4}{0-4}= \frac{x-(-4)}{-4-(-4)} [/tex]
⇔ [tex] \frac{y-4}{-4}= \frac{x+4}{0} [/tex]
⇔ -4(x + 4) = 0(y - 4)
⇔ -4x - 16 = 0
⇔ 4x + 16 = 0 ... (2)

Misalkan kita mengambil titik F(-3, 2), kemudian disubstitusikan ke persamaan (2), diperoleh
4(-3) + 16 = -12 + 16 = 4, 4 > -16.
Sehingga 4x + 16 ≥ 0 ⇔ 4x ≥ -16 ... (2*)

Persamaan garis yang melalui B(-4, 0) dan (3, -3) adalah
[tex] \frac{y-0}{-3-0}= \frac{x-(-4)}{3-(-4)} [/tex]
⇔ [tex] \frac{y}{-3}= \frac{x+4}{7} [/tex]
⇔ -3(x + 4) = 7y
⇔ -3x - 12 = 7y
⇔ -3x - 7y = 12 ... (3)

Misalkan kita mengambil titik G(-2, 2), kemudian disubstitusikan ke persamaan (3), diperoleh
-3(-2) - 7(2) = 6 - 14 = -8, -8 < 12
Sehingga -3x - 7y - 12 ≤ 0 ⇔ -3x - 7y ≤ 12 ... (3*)

Persamaan garis yang melalui D(0, 4) dan C(3, -3) adalah
[tex] \frac{y-4}{-3-4}= \frac{x-0}{3-0} [/tex]
⇔ [tex] \frac{y-4}{-7}= \frac{x}{3} [/tex]
⇔ -7x = 3(y - 4)
⇔ -7x = 3y - 12
⇔ -7x - 3y = -12
⇔ 7x + 3y = 12 ... (4)

Misalkan kita mengambil titik H(1, -2), kemudian disubstitusikan ke persamaan (4), diperoleh
7(1) + 3(-2) = 7 - 6 = 1, 1 < 12
Sehingga 7x + 3y - 12 ≥ 0 ⇔ 7x + 3y ≤ 12  ... (4*)

Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah
4y - 16 ≤ 0,
4x + 16 ≥ 0,
-3x - 7y -12 ≤ 0,
7x + 3y -12 ≤ 0.

Semangat!